Sammensat funktion

En sammensat funktion er en matematisk funktion som er dannet ved at lade en den afhængige værdi af én funktion indgå som den uafhængige variabel i en anden funktion. Tilsammen udgør denne sammenstilling én "ny" funktion, som siges at være sammensat af de to oprindelige funktioner. Funktionen ${\displaystyle h}$ siges at være sammensat af funktionerne ${\displaystyle f}$ og ${\displaystyle g}$ (i nævnte rækkefølge), hvis

${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$

Notation

Ovenstående eksempel kan også skrives som ${\displaystyle h(x)=f(g(x))=(f\circ g)(x)}$ – det der står efter sidste lighedstegn, læses som f bolle g af x.

I midten af det 20. århundrede mente nogle matematikere dog at det er forvirrende, at den funktion man først bruger, står sidst i ovenstående skrivemåde. De forsøgte at introducere en notation hvor ${\displaystyle f(x)}$ skulle skrives som ${\displaystyle xf}$, og ${\displaystyle f(g(x))}$ som ${\displaystyle xgf}$. Denne skrivemåde vandt aldrig nogen udbredelse, og ses i dag kun enkelte steder i ældre litteratur om emnet.

En funktion kan også være sammensat af to eller flere "eksemplarer" af den samme funktion, f.eks.

${\displaystyle g(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x)}$

Til den type sammensatte funktioner har man en særlig skrivemåde, nemlig

${\displaystyle g(x)=f(f(x))=(f\circ f)(x)=f^{2}(x)}$

Udtrykket efter det sidste lighedstegn læses som f i anden af x. Tilsvarende har man

${\displaystyle g(x)=f(f(f(x)))=(f\circ f\circ f)(x)=f^{3}(x)}$

${\displaystyle g(x)=f(f(f(f(x))))=(f\circ f\circ f\circ f)(x)=f^{4}(x)}$

og så videre. Notationen harmonerer godt med skrivemåden ${\displaystyle f^{-1}}$ for den inverse funktion.

Denne potensskrivemåde må ikke forveksles med den notation man indimellem ser anvendt på de trigonometriske funktioner sinus og cosinus, hvor der skrives ${\displaystyle \sin ^{2}x}$ og ${\displaystyle \cos ^{2}x}$ i stedet for de mere entydige skrivemåder hhv. ${\displaystyle (\sin x)^{2}}$ og ${\displaystyle (\cos x)^{2}}$.

Forskrift

Hvis begge funktionerne ${\displaystyle f}$ og ${\displaystyle g}$ er beskrevet ved deres forskrifter; regneudtryk der bestemmer funktionens værdi for et givent tal ${\displaystyle x}$, kan man bestemme forskriften for hele den sammensatte funktion ${\displaystyle (f\circ g)(x)}$ ved at tage forskriften for ${\displaystyle g}$, og sætte den ind i stedet for det uafhængige ${\displaystyle x}$ i forskriften for ${\displaystyle f}$.

Anvendelse

Indenfor differentialregningen har man ofte brug for at "dele" en funktion med en kompliceret forskrift op i flere funktioner med simplere forskrifter: Kender man differentialkvotienten til disse "bestanddele", kan man nemlig beregne forskriften for den "komplicerede" funktions differentialkvotient efter denne formel:

${\displaystyle (f\circ g)^{\prime }(x)=(f(g(x)))^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(g(x))}$